Я оформил перевозку питомца на отдельном кресле и лечу с пересадкой в Домодедово. Нужно ли во время пересадки в Москве заново регистрировать питомца на рейс?

Нет, не беспокойтесь: во время регистрации перелет питомца оформляется на все участки маршрута. Ветеринарный контроль проходят в первом аэропорту. В трансферной зоне представитель авиакомпании проверит наличие штампа и подписи представителя, а затем поставит специальную отметку.